Para unificar Japón primero necesitas ser nombrado Shogún. En mi partida lo conseguí con Fujiwara, también. Lo primero era hacer que Minamoto dejase de ser el Shogún. Esto es fácil, el resto de facciones enviaban insultos, y terminaba perdiendo la influencia. Cuando dejaba de haber Shogún, cualquiera de las facciones podía reclamar el título de "Kampaku". Para ello, basta con mover un regimiento a Yamashiro, la capital y única provincia de Japón. Es requisito para el nombremiento el tener un ejército en Yamashiro, así que con mandar una de infantería ya vale.
Ahora, una vez que ya eres Kampaku, tienes que hacer que el resto de facciones te promocionen como Shogún. La vía rápida (y la única que yo he visto) es declarar la guerra al resto de señores, y en el tratado de paz exigir que te promocionen como Shogún. A partir de ahí, tu influencia varía según tus relaciones con el resto de señores, tu prestigio y los eventos que te puedan salir. Yo lo que hice fue llevarme por delante a Taira (un señor feudal menos), firmar un matrimonio real y alianza militar con Minamoto (es bueno tener un aliado), y entre los dos cargarnos a Tachibana. Después dejé pasar el tiempo, y se formó una unión personal con Minamoto, al que terminé heredando, y quedé como Shogún y único señor de Japón. Unificación al canto

Aparte de la guerra, no he visto ninguna otra opción de convertirte en Shogún, al menos en la pantalla del shogunato no aparece.
Edit: hay que tener cuidado con las guerras y con el resto de facciones, porque de algún modo, mientras tu te estás dando de palos con algún señor feudal, ese con el que estás en guerra puede unificar Japón aun no siendo el "último hombre en pie", y por lo tanto pierdes la partida. Tiene que ver con una de las decisiones que se pueden tomar en la pantalla del shogunato.